已知 $1\leqslant x^2+y^2\leqslant 2$，则 $x^2+xy+y^2$ 的最小值与最大值的和为 ．
【难度】
【出处】
2017年北京大学物理秋令营基础学业能力数学测试
【标注】
【答案】
$\dfrac 72$
【解析】
设 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则题中条件为 $1\leqslant r\leqslant \sqrt 2$，$\theta\in\mathbb R$．此时\[x^2+xy+y^2=r^2\left(1+\sin\theta\cos\theta\right)=r^2\left(1+\dfrac 12\sin2\theta\right),\]其最小值为 $\dfrac 12$，最大值为 $3$．
题目
答案
解析
备注
