设四边形 $ABCD$ 为菱形，已知 $\triangle ABC$ 的外接圆半径等于 $3$，$\triangle BCD$ 的外接圆半径等于 $4$，则此菱形的边长为 ．
【难度】
【出处】
2017年北京大学物理秋令营基础学业能力数学测试
【标注】
【答案】
$\dfrac{24}5$
【解析】
设 $A(m,0)$，$B(0,n)$，$C(-m,0)$，$D(0,-n)$，如图：
则根据题意 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心为 $P(0,n-3)$，$\triangle BCD$ 外接圆的圆心为 $Q(-m+4,0)$，因此\[\begin{cases} m^2+(n-3)^2=9,\\ (m-4)^2+n^2=16,\end{cases}\]也即\[\begin{cases} m^2+n^2-6n=0,\\ m^2+n^2-8m=0,\end{cases}\]设 $m=3x$，$n=4x$，则\[25x^2-24x=0,\]于是菱形的边长\[\sqrt{m^2+n^2}=5x=\dfrac{24}5.\]
则根据题意 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心为 $P(0,n-3)$，$\triangle BCD$ 外接圆的圆心为 $Q(-m+4,0)$，因此\[\begin{cases} m^2+(n-3)^2=9,\\ (m-4)^2+n^2=16,\end{cases}\]也即\[\begin{cases} m^2+n^2-6n=0,\\ m^2+n^2-8m=0,\end{cases}\]设 $m=3x$，$n=4x$，则\[25x^2-24x=0,\]于是菱形的边长\[\sqrt{m^2+n^2}=5x=\dfrac{24}5.\]
题目
答案
解析
备注
