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设 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，$AC$ 边上点 $D$ 满足 $BD\perp AO$，已知 $AC=3$，$AB=2$，则 $AD$ 的长度等于 ．
【难度】
【出处】
2017年北京大学物理秋令营基础学业能力数学测试
【标注】
  • 题型
    >
    三角
    >
    平面几何计算题
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量中的常用知识
    >
    三角形外心的向量表达
【答案】
$\dfrac 43$
【解析】
因为点 $D$ 在 $AC$ 边上，所以可设$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AC}.$$因为 $BD\perp AO$，所以$$0=\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AO}+\lambda\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AO}=-2+\dfrac 92\lambda,$$解得 $\lambda=\dfrac 49$，从而有\[ AD=\lambda AC=\dfrac 43.\]
题目 答案 解析 备注
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