情形一 当 $x\leqslant 0$ 时，$$y=\dfrac12(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x})\geqslant 1.$$由题$$2y=\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x},$$令 $t=\mathrm{e}^x$，由于 $x\leqslant 0$，所以 $0<t\leqslant 1$，所以$$t+\dfrac1t-2y=0.$$解得$$t=y\pm\sqrt{y^2-1},$$由于 $0<t\leqslant 1$，所以$$t=y-\sqrt{y^2-1},$$即有$$x={\ln}(y-\sqrt{y^2-1}),$$交换 $x,y$ 的位置，反函数为$$y={\ln}(x-\sqrt{x^2-1}),x\geqslant 1.$$情形二当 $0<x\leqslant 2$ 时，易求得 $y=\sqrt{-\dfrac x2+1}$ 的反函数为$$y=-2x^2+2,x\in[0,1).$$综上所述，所求反函数为$$f^{-1}(x)=\begin{cases} -2x^2+2,& x\in[0,1),\\
{\ln}(x-\sqrt{x^2-1}),& x\in[1,+\infty).\end{cases}$$