三个整数数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 的通项公式分别为 $a_n=3n+2,b_n=2n+1$，$c_n=5n-1$，$n=1,2,3\cdots$，数列 $\{d_n\}$ 由上述三个数列中的公共项构成，则数列 $\{d_n\}$ 的通项公式为 ，其前 $n$ 项和 $S_n=$ ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$d_n=30n-1$，$S_n=15n^2+14n$
【解析】
根据题意知$$\begin{split} &3\mid a_n+1,\\
&2\mid b_n+1,\\
& 5\mid c_n+1,\end{split}$$而 $d_n$ 为 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 中的公共项，同时满足上述三个条件，因此$$3\cdot 2\cdot 5\mid d_n+1,$$所以$$d_n+1=30n+30t,t\in \mathbb Z.$$易知 $d_1=29$，所以$$d_n=30n-1,n\in\mathbb N^\ast.$$于是$$S_n=15n^2+14n,n\in\mathbb N^\ast.$$
&2\mid b_n+1,\\
& 5\mid c_n+1,\end{split}$$而 $d_n$ 为 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 中的公共项，同时满足上述三个条件，因此$$3\cdot 2\cdot 5\mid d_n+1,$$所以$$d_n+1=30n+30t,t\in \mathbb Z.$$易知 $d_1=29$，所以$$d_n=30n-1,n\in\mathbb N^\ast.$$于是$$S_n=15n^2+14n,n\in\mathbb N^\ast.$$
题目
答案
解析
备注
