记 $F(x,y)=(x-y)^2+\left(\dfrac x2+\dfrac 2y\right)^2,y\neq 0$，则 $F(x,y)$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{16}{5}$
【解析】
$F(x,y)$ 可看作动点 $\left(y,\dfrac2y\right)$ 到点 $Q\left(x,-\dfrac x2\right)$ 的距离的平方，$P$ 的轨迹是曲线 $y=\dfrac2x$，$Q$ 点的轨迹是 $y=-\dfrac x2$，问题转化为求直线 $y=-\dfrac x2$ 上的点到等轴双曲线 $y=\dfrac 2x$ 上的点的距离（平方）最小值．设双曲线上任一点坐标为 $\left(x,\dfrac 2x\right)$，则该点到直线 $x+2y=0$ 的距离为$$d=\dfrac{\bigg|x+2\cdot \dfrac 2x\bigg|}{\sqrt5}\geqslant \dfrac{4\sqrt5}{5}.$$当 $x=2$ 时，上述不等式取得等号，所以 $F(x,y)=d^2$ 的最小值为 $\dfrac{16}{5}$．
题目
答案
解析
备注
