若函数 $f(x)=\dfrac{x^4+(k^2+4k-10)x^2+4}{x^4+2x^2+4},x\geqslant 2$ 的最小值为 $0$，则实数 $k$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$-5$ 或 $1$
【解析】
因为 $x\geqslant 2$，所以$$f(x)=1+\dfrac{k^2+4k-12}{x^2+\dfrac{4}{x^2}+2}, $$易证 $x^2+\dfrac{4}{x^2}$ 在 $[2,+\infty)$ 上单调递增，所以$$\min\left\{x^2+\dfrac{4}{x^2}+2\right\}=7,$$显然$$k^2+4k-12\neq 0,$$若$$k^2+4k-12> 0,$$不符题意．当$$k^2+4k-12<0,$$时，$f(x)$ 单调递增，应有$$\begin{cases} k^2+4k-12<0,\\
f(2)=0, \end{cases}$$解得 $k=-5$ 或 $1$．
f(2)=0, \end{cases}$$解得 $k=-5$ 或 $1$．
题目
答案
解析
备注
