设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为 $r$ 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
如图为圆锥轴截面 $PAB$，球心为 $O$，
可得$$PC=OC+PO=3r , AC=\sqrt3r,$$所以容器的总容积为$$V_{PAB}=\dfrac13\pi(\sqrt3r)^2\cdot3r=3\pi r^3.$$设取出球后，水面 $EF$ 高为 $h$，则此时水形成的新圆锥的体积为$$V_{PEF}=3\pi r^3-\dfrac43\pi r^3=\dfrac53\pi r^3.$$因为$$\dfrac{V_{PEF}}{V_{PAB}}=\dfrac{h^3}{PC^3},$$所以 $h^3=15r^3$，解得 $h=\sqrt[3]{15}r$．
可得$$PC=OC+PO=3r , AC=\sqrt3r,$$所以容器的总容积为$$V_{PAB}=\dfrac13\pi(\sqrt3r)^2\cdot3r=3\pi r^3.$$设取出球后，水面 $EF$ 高为 $h$，则此时水形成的新圆锥的体积为$$V_{PEF}=3\pi r^3-\dfrac43\pi r^3=\dfrac53\pi r^3.$$因为$$\dfrac{V_{PEF}}{V_{PAB}}=\dfrac{h^3}{PC^3},$$所以 $h^3=15r^3$，解得 $h=\sqrt[3]{15}r$．
题目
答案
解析
备注
