一个球与正四面体的各个棱都相切，且球的表面积为 $8\pi$，则正四面体的棱长为 ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
如图所示，设 $O$ 为正四面体的中心，$a$ 为正四面体的棱长，则由于正四面体的外接球半径也即 $OC$ 为其棱长的 $\dfrac{\sqrt6}{4}$ 倍，即$$OC=\dfrac{\sqrt6}{4}a,$$易知 $\triangle OEC$ 为以 $\angle OEC$ 为直角直角三角形，且 $OE$ 即为该正四面体棱切球的半径，也即有$$OE=\sqrt2,EC=\dfrac a2,$$于是由勾股定理$$OE^2+EC^2=OC^2,$$即$$(\sqrt2)^2+\dfrac{a^2}{4}=\dfrac38a^2.$$解得 $a=4$．
题目
答案
解析
备注
