已知共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为 $e_1,e_2$，若椭圆的短轴长是双曲线的虚轴长的 $2$ 倍，则 $\dfrac1 {e_1}+\dfrac1{e_2}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac 52$
【解析】
设椭圆的长轴长为 $2a_1$，短轴长为 $2b_1$，设双曲线的实轴长为 $2a_2$，虚轴长为 $2b_2$，则$$\dfrac1{e_1}+\dfrac1{e_2}=\dfrac{a_1+a_2}{c},$$由题意知 $b_1=2b_2$ 所以$$a_1^2-c^2=4(c^2-a_2^2),$$进而可得$$\left(\dfrac{a_1}{c}\right)^2+4\left(\dfrac{a_2}{c}\right)^2=5.$$于是由柯西不等式可得$$\left(1+\dfrac14\right)\left[\dfrac{a_1^2}{c^2}+\dfrac{4a_2^2}{c^2}\right]\geqslant \left(\dfrac{a_1+a_2}{c}\right)^2,$$当 $a_1=2a_2$ 时，上述不等式等号成立．因此所求表达式的最大值为 $\dfrac52$．
题目
答案
解析
备注
