在面积为 $2$ 的 $\triangle ABC$ 中，$E,F$ 分别是 $AB$，$AC$ 的中点，点 $P$ 在直线 $EF$ 上，则 $\overrightarrow {PC}\cdot\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}^2$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt3$
【解析】
记 $BC$ 的中点为 $D$，$BC$ 边上的高为 $h$，则$$\begin{split} \overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}^2&=|\overrightarrow {PC}|^2-\dfrac14|\overrightarrow{BC}^2|+\overrightarrow{BC}^2\\&=|\overrightarrow{PD}^2|+\dfrac34|\overrightarrow{BC}|^2\\
&\geqslant \dfrac12h^2+\dfrac34|\overrightarrow{BC}|^2\\
&\geqslant \dfrac{2\sqrt3}{4}h\cdot|\overrightarrow{BC}|\\
&=2\sqrt3.\end{split}$$当 $h=\sqrt{3}\cdot |BC|$ 时上述不等式取等，因此所求表达式的最小值为 $2\sqrt3$．
题目
答案
解析
备注
