定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足：① 当 $x>1$ 时，$f(x)<-2$；② 对任意 $x,y\in(0,+\infty)$，总有 $f(xy)=f(x)+f(y)+2$，则不等式 $f(x)+f(x-1)>-4$ 的解集为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(1,\dfrac{\sqrt5+1}{2}\right)$
【解析】
易知 $f(1)=-2$，设 $x_1>x_2>0$，则 $\dfrac{x_1}{x_2}>1$，并且$$f(x_1)-f(x_2)=f\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)+2<0,$$因此 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，原不等式$$f(x)+f(x-1)+2>-2,$$即$$f(x(x-1))>f(1),x>1$$因此原不等式的解集即为下述不等式组的解集$$\begin{cases} x(x-1)<1,\\
x>1, \end{cases}$$解得解集为 $\left(1,\dfrac{\sqrt5+1}{2}\right)$．
x>1, \end{cases}$$解得解集为 $\left(1,\dfrac{\sqrt5+1}{2}\right)$．
题目
答案
解析
备注
