已知集合 $A=\{x \mid x=3^n,n \in \mathbb N^{\ast}\}$，$B=\{x \mid x=4n+1,n \in \mathbb N^{\ast}\}$，将 $A \cap B$ 中的元素从小到大排成一个数列 $\{a_n\}$，则 $a_3=$ ，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$729$；$9^n$
【解析】
令$$3^n=4m+1, m,n \in \mathbb N^{\ast},$$则$$m=\dfrac {3^n-1}{4}=\dfrac {(1+2)^n-1}{4}=t+\dfrac {2n}{4},t \in \mathbb N^{\ast}.$$明显 $2 \mid n$ 时，$m\in \mathbb N^{\ast} $；$2 \nmid n$ 时，$m \not \in \mathbb N^{\ast} $．故$$A \cap B=\{x\mid 9^n, n \in \mathbb N^{\ast}\},$$所以 $a_3=9^3=729$，$a_n=9^n$．
题目
答案
解析
备注
