数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=\dfrac12$，并且 $a_n(a_{n-1}+a_{n+1})=2a_{n+1}\cdot a_{n-1}(n\geqslant2)$，则数列 $\{a_n\}$ 的第 $2012$ 项为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
由 $a_n(a_{n-1}+a_{n+1})=2a_{n+1}a_{n-1}$，得$$\dfrac{1}{a_{n+1}}+\dfrac{1}{a_{n-1}}=2\cdot\dfrac{1}{a_n},$$所以 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 是等差数列．
因为$$\dfrac{1}{a_1}=1 , d=1,$$所以数列的通项公式 $a_n=\dfrac1n$，故第 $2012$ 项为 $\dfrac{1}{2012}$．
因为$$\dfrac{1}{a_1}=1 , d=1,$$所以数列的通项公式 $a_n=\dfrac1n$，故第 $2012$ 项为 $\dfrac{1}{2012}$．
题目
答案
解析
备注
