若二次函数 $f(x)$ 的图象通过原点，且对于 $\forall x \in \mathbb R$ 都有 $f(x+2)=f(x)+x+2$ 成立，则二次函数 $f(x)$ 的表达式为 ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac 14x^2+\dfrac 12x$
【解析】
因为二次函数图象过坐标原点，所以可设 $f(x)=ax^2+bx$（$a,b$ 为常数，$a \neq 0$），由$$f(x+2)=f(x)+x+2,$$得$$a(x+2)^2+b(x+2)=ax^2+bx+2,$$对比系数，得$$\begin{cases}4a+b=b+1,\\
4a+2b=2.\end{cases}$$解得$$(a,b)=\left(\dfrac 14,\dfrac 12\right).$$
4a+2b=2.\end{cases}$$解得$$(a,b)=\left(\dfrac 14,\dfrac 12\right).$$
题目
答案
解析
备注
