设 $f(x)=x^2+mx+1$，若对于任意 $x \in \mathbb R$，$f(x)>0$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是 ；若存在 $x_0 $，使得 $f(x_0)<-3$，则 $m$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$-2<m<2$；$m>4$ 或 $m<-4$
【解析】
若对于任意 $x \in \mathbb R$，$f(x)>0$ 恒成立，则函数 $f(x)$ 的最小值 $f\left(-\dfrac m2\right)$ 需满足$$f\left(-\dfrac m2\right)>0,$$解得$$-2<m<2.$$若存在 $x_0 $，使得 $f(x_0)<-3$，则函数 $f(x)$ 的最小值 $f\left(-\dfrac m2\right)$ 需满足$$f\left(-\dfrac m2\right)<-3,$$解得 $ m>4 $ 或 $ m<-4 $．
题目
答案
解析
备注
