试写出不定方程 $x^2-2y^2=1$ 的两组正整数解 ， ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$(x,y)=(3,2)$；$(x,y)=(17,12)$
【解析】
当 $x,y \in \mathbb N^{\ast}$ 时，因为 $2 \mid 2y^2$，所以 $2 \nmid x^2$，所以 $2 \nmid x $．不妨设 $x=2k+1, k \in \mathbb N$，则$$y^2=\dfrac {2k(2k+2)}{2}=2k(k+1).$$尝试 $k=1$，$k=8$，$k=49$ 等符合题意，所以不定方程 $x^2-2y^2=1$ 的两组正整数解可以为$$(x,y)=(3,2),(17,12).$$
题目
答案
解析
备注
