函数 $f(x) =\sin \left[2\left(x-\dfrac {\pi}{3}\right)+\varphi\right]$ 是偶函数，且 $0<\varphi <\pi$，则 $\varphi=$ ，其单调减区间是 ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac {\pi}{6}$；$\left(\dfrac {\pi}{2}+k \pi,\pi+k\pi\right),k \in \mathbb Z$
【解析】
因为函数 $f(x) =\sin \left[2\left(x-\dfrac {\pi}{3}\right)+\varphi\right]$ 是偶函数，所以$$f(-x)=f(x),$$即$$\sin \left[2\left(-x-\dfrac {\pi}{3}\right)+\varphi\right]=\sin \left[2\left(x-\dfrac {\pi}{3}\right)+\varphi\right],$$所以$$2\left(-x-\dfrac {\pi}{3}\right)+\varphi+2\left( x-\dfrac {\pi}{3}\right)+\varphi=(2k+1)\pi, k \in \mathbb Z.$$所以$$\varphi=\dfrac {\pi}{6}+(k+1)\pi,k \in \mathbb Z.$$又因为 $0<\varphi <\pi$，所以 $\varphi=\dfrac {\pi}{6}$．此时函数$$f(x)=-\cos 2x,$$由$$\pi +2k\pi <2x<(2k+1)\pi,k \in \mathbb Z.$$得函数 $f(x)$ 的递减区间为$$\left(\dfrac {\pi}{2}+k \pi,\pi+k\pi\right),k \in \mathbb Z.$$
题目
答案
解析
备注
