注意到，数列 $1,2,3,1,2,3,\cdots $ 的周期为 $3$，可以考虑令$$a_n=f(n)=A\sin \left(\dfrac 23\pi n+\varphi\right) +2,$$由$$f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,$$得$$\begin{cases}A\sin\left(\dfrac 23\pi +\varphi\right)=-1,\\ A\sin\left(\dfrac 43\pi+\varphi\right) =0,\\ A\sin\left( 2\pi +\varphi\right) =1. \end{cases}$$解得$$\begin{cases}A=-\dfrac {2\sqrt 3}{3},\\ \varphi= -\dfrac {\pi}{3}. \end{cases}$$故$$a_n=2-\dfrac {2\sqrt 3}{3}\sin \left(\dfrac 23\pi n-\dfrac {\pi}{3}\right).$$显然，有$$S_n=\begin{cases}2n,&3\mid n,\\ 2n-1 , &3\nmid n. \end{cases}$$令 $\{b_n\}={-1,-1,0,-1,-1,0,\cdots}$，则$$S_n=2n+b_n,$$故可令$$b_n=g(n)=A_1\sin \left(\dfrac 23\pi n+\varphi_1\right) +B_1,$$则由$$g(1)=g(2)=-1,g(3)=0,$$解得$$\begin{cases}A_1= \dfrac {2}{3},\\ \varphi_1= -\dfrac {\pi}{2},\\ B_1=-\dfrac 23. \end{cases}$$所以$$S_n=2n+\dfrac {2}{3}\cos\left(\dfrac 23\pi n\right)-\dfrac 23. $$