已知数列 $\{a_n\}$ 为 $\dfrac 12,\dfrac 13,\dfrac 23,\dfrac 14,\dfrac 24,\dfrac 34,\dfrac 15,\dfrac 25,\dfrac 35,\dfrac 45,\cdots$，则这个数列的第 $2006$ 项是 ，它的前 $2006$ 项的和为 ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac {53}{64}$；$998\dfrac {55}{64}$
【解析】
观察数列的规律，知分母为 $n$ 的项有 $n-1$ 项．令$$\dfrac {n(n+1)}{2}=2006,$$得$$63<n<64,$$又知 $\dfrac {63}{64}$ 为数列的第 $2016$ 项，所以数列的第 $2006$ 项为 $\dfrac {53}{64}$；分组求和，得数列中分母是 $n$ 的项的和为 $\dfrac {n-1}{2}$，所以数列 $\{a_n\}$ 的前 $2006$ 项的和为$$ \sum_{i=1}^{63}\dfrac {i}{2}- \sum_{j=54}^{63}\dfrac {j}{64}=998\dfrac {55}{64}.$$
题目
答案
解析
备注
