若集合 $A=\{(m,n)\mid (m+1)+(m+2)+\cdots+(m+n)=10^{2015},m\in\mathbb Z,n\in\mathbb N^*\}$，则集合 $A$ 中元素个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
由已知得$$n(n+2m+1)=2^{2016}\cdot 5^{2015},$$于是\[m=\dfrac{5^{2015}}{n}\cdot 2^{2015}-\dfrac{n+1}2.\]情形一 $n$ 为奇数，则 $n=1,5,5^2,\cdots,5^{2015}$，共 $2016$ 种不同的取值．
情形二 $n$ 为偶数，则 $n=2^{2015}\cdot 1,2^{2015}\cdot 5,2^{2015}\cdot 5^2,\cdots,2^{2015}\cdot 5^{2015}$，共 $2016$ 种不同的取值．
综上所述，集合 $A$ 中的元素个数为 $4032$．
综上所述，集合 $A$ 中的元素个数为 $4032$．
题目
答案
解析
备注
