设 $x\in\mathbb R$，$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．若存在实数 $t$，使得 $[t]=1$，$\left[t^2\right]=2$，$\cdots$，$\left[t^n\right]=n$ 同时成立，则正整数 $n$ 的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
如图，将 $\left[t^n\right]=n$ 的解$$n^{\frac 1n}\leqslant t<\left(n+1\right)^{\frac 1n},$$
其中 $n=1,2,\cdots$ 分别标在数轴上，记这些区间分别为 $A_1,A_2,\cdots$，则有$$\bigcap_{k=1}^4A_k=\left[3^{\frac 13},5^{\frac 14}\right),$$而$$\bigcap_{k=1}^5A_k=\varnothing.$$于是所求正整数 $n$ 的最大值是 $4$．
其中 $n=1,2,\cdots$ 分别标在数轴上，记这些区间分别为 $A_1,A_2,\cdots$，则有$$\bigcap_{k=1}^4A_k=\left[3^{\frac 13},5^{\frac 14}\right),$$而$$\bigcap_{k=1}^5A_k=\varnothing.$$于是所求正整数 $n$ 的最大值是 $4$．
题目
答案
解析
备注
