已知 $F$ 为抛物线 $y^2=x$ 的焦点，点 $A$、$B$ 在该抛物线上且位于 $x$ 轴的两侧，$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2$（其中 $O$ 为坐标原点），则三角形 $ABO$ 与三角形 $AFO$ 的面积之和的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
首先介绍坐标系下的三角形面积公式，由有向线段 $\overrightarrow{OA}=(a,b)$ 和有向线段 $\overrightarrow{OB}=(c,d)$ 形成的三角形的有向面积为$$\dfrac 12\begin{vmatrix} a&b\\c&d\end{vmatrix}=\dfrac 12\left(ad-bc\right).$$有了这个公式的知识储备，我们就可以以点构图完成解答．
设 $A\left(a^2,a\right)$、$B\left(b^2,b\right)$、$F\left(\dfrac 14,0\right)$，且 $a<0<b$．根据对称性，不妨设 $|a|\leqslant |b|$．
由 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2$ 可得$$a^2b^2+ab=2,$$从而解得$$ab=-2,\cdots (1)$$进而由坐标系下的三角形面积公式，有$$S_{\triangle ABO}+S_{\triangle AFO}=\dfrac 12\left|a^2b-ab^2\right|+\dfrac 12\left|\dfrac 14a\right|=\dfrac 12\left|ab\right|\cdot\left(|a|+|b|\right)+\dfrac 18|a|,$$将（1）代入上式，可得所求面积之和为$$\dfrac 98|a|+\dfrac{2}{|a|}\geqslant 2\sqrt{\dfrac 98|a|\cdot\dfrac{2}{|a|}}=3,$$等号当 $|a|=\dfrac 43$ 时成立，于是所求面积之和的最小值为 $3$．
设 $A\left(a^2,a\right)$、$B\left(b^2,b\right)$、$F\left(\dfrac 14,0\right)$，且 $a<0<b$．根据对称性，不妨设 $|a|\leqslant |b|$．
由 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2$ 可得$$a^2b^2+ab=2,$$从而解得$$ab=-2,\cdots (1)$$进而由坐标系下的三角形面积公式，有$$S_{\triangle ABO}+S_{\triangle AFO}=\dfrac 12\left|a^2b-ab^2\right|+\dfrac 12\left|\dfrac 14a\right|=\dfrac 12\left|ab\right|\cdot\left(|a|+|b|\right)+\dfrac 18|a|,$$将（1）代入上式，可得所求面积之和为$$\dfrac 98|a|+\dfrac{2}{|a|}\geqslant 2\sqrt{\dfrac 98|a|\cdot\dfrac{2}{|a|}}=3,$$等号当 $|a|=\dfrac 43$ 时成立，于是所求面积之和的最小值为 $3$．
题目
答案
解析
备注
