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学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为"优秀"、"合格"、"不合格"．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称"学生甲比学生乙成绩好"．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有 \((\qquad)\)
A: $2$ 人
B: $3$ 人
C: $4$ 人
D: $5$ 人
【难度】
【出处】
2014年高考北京卷（理）
【标注】
  • 题型
    >
    组合数学
    >
    组合极值
【答案】
B
【解析】
将三个等级"优秀"、"合格"、"不合格"分别用 $A$、$B$、$C$ 代替，用 $AB$ 来表示语文成绩为"优秀"，数学成绩为"合格"，那么所有可能的成绩为$$\begin{matrix}AA&AB&AC\\BA&BB&BC\\CA&CB&CC\end{matrix}$$根据题意，每行和每列都至多选取一个作为某个学生的成绩，因此这一组学生不能多于 $3$ 人．又当选择 $\{AC,BB,CA\}$ 作为学生成绩时符合题意，因此这一组学生最多有 $3$ 人．
题目 答案 解析 备注
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