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设函数 $f(x)={\rm e}^x(2x-1)-ax+a$，其中 $a<1$，若存在唯一的整数 $x_0$，使得 $f(x_0)<0$，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[-\dfrac{3}{2{\rm e}},1\right)$
B: $\left[-\dfrac{3}{2{\rm e}},\dfrac 34\right)$
C: $\left[\dfrac{3}{2{\rm e}},\dfrac 34\right)$
D: $\left[\dfrac{3}{2{\rm e}},1\right)$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
考虑函数 $g(x)={\rm e}^x(2x-1)$，以及函数 $h(x)=a(x-1)$，则题意要求存在唯一的整数 $x_0$ 使得 $g(x_0)<h(x_0)$．
注意到$$g'(x)={\rm e}^x(2x+1),$$尤其注意到 $y=x-1$ 为 $y=g(x)$ 在 $(0,-1)$ 处的切线，如图．于是可以确定符合题意的唯一整数 $x_0=0$，进而可得 $a$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{3}{2{\rm e}},1\right)$．
题目 答案 解析 备注
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