设非负实数 $x,y$ 满足 $2x+y=1$，则 $x+\sqrt{x^2+y^2}$ 的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
AC
【解析】
一方面，有$$x+\sqrt{x^2+y^2}\leqslant x+(x+y)=1,$$当且仅当 $(x,y)=(0,1)$ 或 $(x,y)=\left (\dfrac{1}{2} ,0\right )$ 时等号成立．
另一方面，由柯西不等式，可知$$(3^2+4^2)(x^2+y^2)\geqslant (3x+4y)^2,$$故$$x+\sqrt{x^2+y^2}\geqslant x+\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y=\dfrac{4}{5} ,$$当且仅当 $(x,y)=\left (\dfrac{3}{10} ,\dfrac{2}{5} \right )$ 时等号成立．
综上所述，$x+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最小值为 $\dfrac 45$，最大值为 $1$．
另一方面，由柯西不等式，可知$$(3^2+4^2)(x^2+y^2)\geqslant (3x+4y)^2,$$故$$x+\sqrt{x^2+y^2}\geqslant x+\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y=\dfrac{4}{5} ,$$当且仅当 $(x,y)=\left (\dfrac{3}{10} ,\dfrac{2}{5} \right )$ 时等号成立．
综上所述，$x+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最小值为 $\dfrac 45$，最大值为 $1$．
题目
答案
解析
备注
