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已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 满足$$\sin 2A + \sin \left({A - B + C}\right) = \sin \left({C - A - B}\right) + \dfrac{1}{2},$$面积 $S$ 满足 $1 \leqslant S \leqslant 2$，记 $a,b,c$ 分别为 $A,B,C$ 所对的边，则下列不等式一定成立的是 \((\qquad)\)
A: $bc\left({b + c}\right) > 8$
B: $ab\left(a+b\right)>16\sqrt2$
C: $6 \leqslant abc \leqslant 12$
D: $12\leqslant abc \leqslant 24$
【难度】
【出处】
2014年高考重庆卷（理）
【标注】
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【答案】
A
【解析】
根据已知，有$$\sin 2A+\sin [A-(B-C)]+\sin[A+(B-C)]=\dfrac 12,$$于是$$2\sin A\cos A+2\sin A\cos (B-C)=\dfrac 12,$$也即$$2\sin A[-\cos (B+C)+\cos (B-C)]=\dfrac 12,$$化简得$$\sin A \sin B \sin C=\dfrac 18.$$另一方面，设 $d$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的直径，则$$S=\dfrac 12ab\sin C=\dfrac 12\sin A \sin B \sin C\cdot d^2=\dfrac 1{16}d^2,$$因此 $4\leqslant d\leqslant 4\sqrt 2$．进而$$abc=d^3\sin A\sin B\sin C\in \left[8,16\sqrt 2\right],$$且由 $b+c>a$ 易得 $bc(b+c)>8$．
题目 答案 解析 备注
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