已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的奇函数，当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)=\dfrac{1}{2}\left(\left|x-a^2\right|+\left|x-2a^2\right|-3a^2\right)$．若 $\forall x\in \mathbb R,f(x-1)\leqslant f(x)$，则实数 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
用分界点 $x=a^2$ 和 $x=2a^2$ 讨论，不难画出函数的草图．
题目中的条件 $\forall x\in\mathbb R,f(x-1)\leqslant f(x)$ 的意思就是设法通过平移一个单位，把函数图象中的“山”（阴影部分）藏在右边的图象下方（包括边界）．
事实上，“山”的宽度为 $6a^2$，于是由不等式$$6a^2\leqslant 1$$解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{\sqrt 6}6,\dfrac{\sqrt 6}6\right]$．
题目中的条件 $\forall x\in\mathbb R,f(x-1)\leqslant f(x)$ 的意思就是设法通过平移一个单位，把函数图象中的“山”（阴影部分）藏在右边的图象下方（包括边界）．事实上，“山”的宽度为 $6a^2$，于是由不等式$$6a^2\leqslant 1$$解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{\sqrt 6}6,\dfrac{\sqrt 6}6\right]$．
题目
答案
解析
备注
