用 $a$ 代表红球，$b$ 代表蓝球，$c$ 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从 $1$ 个红球和 $1$ 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 $\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)$ 的展开式 $1 + a + b + ab$ 表示出来，如：" $1$ "表示一个球都不取、" $a$ "表示取出一个红球，而" $ab$ "则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 $5$ 个无区别的红球、$5$ 个无区别的蓝球、$5$ 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考福建卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
依题意，用 $x$ 表示某种颜色的球，$n$ 为该种颜色的球的数量．
当 $n$ 个球互不相同时，每个球都有取或者不取两种可能，并且每个球是否被选取和其他球无关，因此用$$\underbrace{(1+x)\cdot(1+x)\cdots (1+x)}_{n\text{个}}=(1+x)^n$$表示；
当 $n$ 个球无区别时，那么选取该种颜色的球时的不同可能只与选取的球的数目有关，因此用$$1+x+x^2+\cdots +x^n$$表示；
当 $n$ 个球同时选取或者都不选取时，显然用 $1+x^n$ 表示．
因此将选取球的步骤按颜色分为三步，那么就有$$\left( {1 + a + {a^2} + {a^3} + {a^4} + {a^5}} \right)\left( {1 + {b^5}} \right){\left( {1 + c} \right)^5}$$为所求．
当 $n$ 个球互不相同时，每个球都有取或者不取两种可能，并且每个球是否被选取和其他球无关，因此用$$\underbrace{(1+x)\cdot(1+x)\cdots (1+x)}_{n\text{个}}=(1+x)^n$$表示；
当 $n$ 个球无区别时，那么选取该种颜色的球时的不同可能只与选取的球的数目有关，因此用$$1+x+x^2+\cdots +x^n$$表示；
当 $n$ 个球同时选取或者都不选取时，显然用 $1+x^n$ 表示．
因此将选取球的步骤按颜色分为三步，那么就有$$\left( {1 + a + {a^2} + {a^3} + {a^4} + {a^5}} \right)\left( {1 + {b^5}} \right){\left( {1 + c} \right)^5}$$为所求．
题目
答案
解析
备注
