设实数 $a,b,c$ 均不为 $0$，且满足 $\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{a+b}{c}$，则 $\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ 的值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分
【标注】
【答案】
D
【解析】
设 $\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{a+b}{c}=k$，则$$\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\dfrac{1}{k^3}.$$若 $a-b=0$，则有 $a=b=c$，于是 $k=2$，所求代数式的值为 $\dfrac 18$；
若 $a-b\neq 0$，则根据合分比定理，有$$k=\dfrac{(b+c)-(c+a)}{a-b}=-1,$$此时 $a+b+c=0$，所求代数式的值为 $-1$．
若 $a-b\neq 0$，则根据合分比定理，有$$k=\dfrac{(b+c)-(c+a)}{a-b}=-1,$$此时 $a+b+c=0$，所求代数式的值为 $-1$．
题目
答案
解析
备注
