查看数据源：59096cee39f91d0007cc92e3
设 $\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$，把复数 $z_1=2\sin{\theta}+\mathrm{i}\cos{\theta}$ 在复平面上对应的向量按顺时针旋转 $\dfrac{3\pi}{4}$ 后得到的复数为 $z_2=r \left(\cos{\varphi}+\mathrm{i}\sin{\varphi}\right)$，那么 $\tan{\varphi}=$  \((\qquad)\)
A: $\dfrac{2\tan{\theta}+1}{2\tan{\theta}-1}$
B: $\dfrac{2\tan{\theta}-1}{2\tan{\theta}+1}$
C: $\dfrac{1}{2\tan{\theta}+1}$
D: $\dfrac{1}{2\tan{\theta}-1}$
【难度】
【出处】
2016年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分
【标注】
  • 知识点
    >
    复数
    >
    复数与三角
    >
    复数的三角形式
【答案】
A
【解析】
由题意，设 $\arg z=\alpha$，则 $\tan{\alpha}=\dfrac{\cos{\theta}}{2\sin{\theta}}$，$\varphi$ 的终边与 $\alpha-\dfrac{3\pi}{4}$ 的终边重合，所以$$\tan{\varphi}=\tan{\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{4}\right)}=\dfrac{\tan{\alpha}+1}{1-\tan{\alpha}}=\dfrac{2\tan{\theta}+1}{2\tan{\theta}-1}.$$
题目 答案 解析 备注
0.120404s