设 $a \geqslant 1$，且对任意 $x\in[1,2]$，不等式 $x|x-a|+\dfrac{3}{2}\geqslant a$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分
【标注】
【答案】
A
【解析】
令 $f(x)=x|x-a|+\dfrac{3}{2}$．
情形一 若 $1 \leqslant a \leqslant 2$，则\[
f(x)_{\min}=f(a)=\dfrac{3}{2},
\]故此时 $1 \leqslant a \leqslant \dfrac{3}{2}$．
情形二 若 $a>2$，则 $f(x)=x(a-x)+\dfrac{3}{2}$，此时原问题等价于$$\begin{cases}
f(1)\geqslant a,\\
f(2)\geqslant a,
\end{cases}$$解得 $a \geqslant \dfrac{5}{2}$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[1,\dfrac{3}{2}\right]\cup\left[\dfrac{5}{2},+\infty\right)$．
f(x)_{\min}=f(a)=\dfrac{3}{2},
\]故此时 $1 \leqslant a \leqslant \dfrac{3}{2}$．
f(1)\geqslant a,\\
f(2)\geqslant a,
\end{cases}$$解得 $a \geqslant \dfrac{5}{2}$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[1,\dfrac{3}{2}\right]\cup\left[\dfrac{5}{2},+\infty\right)$．
题目
答案
解析
备注
