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设实数 $x_1 \geqslant x_2 \geqslant \cdots \geqslant x_{2016}>1$，且 $x_1+x_2+\cdots+x_{2016}=2018$，则 $\ln{\left(x_1\right)}\ln{\left(x_{2016}\right)}$ 与 $\dfrac{1}{2015}$ 的大小关系是 \((\qquad)\)
A: $\ln{\left(x_1\right)}\ln{\left(x_{2016}\right)}>\dfrac{1}{2015}$
B: $\ln{\left(x_1\right)}\ln{\left(x_{2016}\right)}=\dfrac{1}{2015}$
C: $\ln{\left(x_1\right)}\ln{\left(x_{2016}\right)}<\dfrac{1}{2015}$
D: 以上都有可能
【难度】
【出处】
2016年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数问题中的技巧
    >
    基本放缩
【答案】
C
【解析】
令 $t_i=x_i-1>0\left(i=1,2,\cdots,2016\right)$，则$$\ln{x_1}\ln{x_{2016}}=\ln{\left(1+t_1\right)}\ln{\left(1+t_{2016}\right)}<t_1\cdot t_{2016}\leqslant t_1\cdot\dfrac{2-t_1}{2015}\leqslant \dfrac{1}{2015}.$$
题目 答案 解析 备注
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