设角 $\alpha=\dfrac{\pi}{7}$，则 $\sin^2\alpha+\sin^2{2\alpha}+\sin^2{3\alpha}$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分
【标注】
【答案】
A
【解析】
由半角公式得$$\sin^2\alpha+\sin^2{2\alpha}+\sin^2{3\alpha}=\dfrac 32-\dfrac 12(\cos {2\alpha}+\cos{4\alpha}+\cos{6\alpha}),$$记 $A=\cos {2\alpha}+\cos{4\alpha}+\cos{6\alpha}$，则有$$2\sin{2\alpha}\cdot A=\sin{4\alpha}+(\sin{6\alpha}-\sin{2\alpha})+(\sin{8\alpha}-\sin{4\alpha}).$$而 $\sin{6\alpha}+\sin{8\alpha}=0$，所以$$2\sin{2\alpha}\cdot A=-\sin{2\alpha}\Rightarrow A=-\dfrac 12,$$从而得所求代数式的值为 $\dfrac 74$．
题目
答案
解析
备注
