设 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边 $a$，$b$，$c$ 成等比数列，则 $\dfrac {\sin A+\cos A \tan C}{\sin B +\cos B\tan C}$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 $a$，$b$，$c$ 的公比为 $q$，则$$b=aq , c=aq^2,$$从而\[\begin{split}\dfrac {\sin A+\cos A \tan C}{\sin B +\cos B\tan C}&=\dfrac {\sin A\cos C+\cos A \sin C}{\sin B\cos C +\cos B\sin C}\\ &=\dfrac {\sin (A+ C)}{\sin (B + C)}\\&=\dfrac {\sin B}{\sin A}=\dfrac ba=q.\end{split}\]因此，只需求 $q$ 的取值范围．
因为 $a$，$b$，$c$ 成等比数列，最大边只能是 $a$ 或 $c$，因此 $a$，$b$，$c$ 要构成三角形的三边，必须且只需 $a+b>c$ 且 $b+c>a$，即有不等式组$$\begin{cases}a+aq>aq^2,\\ aq+aq^2>a,\end{cases}$$解得$$\begin{cases} \dfrac {\sqrt 5-1}{2}<q<\dfrac {\sqrt 5+1}{2},\\ q> \dfrac {\sqrt 5-1}{2}\lor q<-\dfrac {\sqrt 5+1}{2},\end{cases}$$从而$$\dfrac {\sqrt 5-1}{2}<q<\dfrac {\sqrt 5+1}{2},$$因此所求的取值范围是 $\left( \dfrac {\sqrt 5-1}{2},\dfrac {\sqrt 5+1}{2}\right)$，故选C．
因为 $a$，$b$，$c$ 成等比数列，最大边只能是 $a$ 或 $c$，因此 $a$，$b$，$c$ 要构成三角形的三边，必须且只需 $a+b>c$ 且 $b+c>a$，即有不等式组$$\begin{cases}a+aq>aq^2,\\ aq+aq^2>a,\end{cases}$$解得$$\begin{cases} \dfrac {\sqrt 5-1}{2}<q<\dfrac {\sqrt 5+1}{2},\\ q> \dfrac {\sqrt 5-1}{2}\lor q<-\dfrac {\sqrt 5+1}{2},\end{cases}$$从而$$\dfrac {\sqrt 5-1}{2}<q<\dfrac {\sqrt 5+1}{2},$$因此所求的取值范围是 $\left( \dfrac {\sqrt 5-1}{2},\dfrac {\sqrt 5+1}{2}\right)$，故选C．
题目
答案
解析
备注
