已知函数 $f\left( x \right) ={x^2}+{{\mathrm{e}}^x}- \dfrac{1}{2}\left(x < 0 \right)$ 与 $g\left( x \right) ={x^2}+ \ln \left({x + a}\right)$ 的图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考湖南卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，存在 $x>0$ 使得$$(-x)^2+{\rm e}^{-x}-\dfrac 12=x^2+\ln(x+a),$$即函数$$h(x)=\ln(x+a)-{\rm e}^{-x}+\dfrac 12$$在 $(0,+\infty )$ 上存在零点．
当 $a>0$ 时，函数 $h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，因此当 $h(0)=\ln a-\dfrac 12<0$，即 $a<\sqrt{\rm e}$ 时，函数 $h(x)$ 的值域 $\left(\ln a-\dfrac 12,+\infty \right)$ 包含 $0$，因此在区间 $(0,+\infty )$ 上存在零点；
当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $h(x)$ 在 $(-a,+\infty )$ 上单调递增，函数 $h(x)$ 的值域为 $(-\infty ,+\infty )$，因此在区间 $(0,+\infty )$ 上存在零点．
综上，$a$ 的取值范围是 $(-\infty ,\sqrt{\rm e})$．
当 $a>0$ 时，函数 $h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，因此当 $h(0)=\ln a-\dfrac 12<0$，即 $a<\sqrt{\rm e}$ 时，函数 $h(x)$ 的值域 $\left(\ln a-\dfrac 12,+\infty \right)$ 包含 $0$，因此在区间 $(0,+\infty )$ 上存在零点；
当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $h(x)$ 在 $(-a,+\infty )$ 上单调递增，函数 $h(x)$ 的值域为 $(-\infty ,+\infty )$，因此在区间 $(0,+\infty )$ 上存在零点．
综上，$a$ 的取值范围是 $(-\infty ,\sqrt{\rm e})$．
题目
答案
解析
备注
