在同一直角坐标系中，函数 $y = a{x^2}- x + \dfrac{a}{2}$ 与 $y ={a^2}{x^3}- 2a{x^2}+ x + a\left(a \in{\mathbb{R}}\right)$ 的图象不可能的是 \((\qquad)\)
A:
B:
C:
D:
【难度】
【出处】
2014年高考江西卷（文）
【标注】
【答案】
B
【解析】
当 $a=0$ 时，题中的两个函数分别为 $y=-x$ 和 $y=x$，因此图象如选项 D 所示．
当 $a\neq 0$ 时，函数 $y=ax^2-x+\dfrac a2$ 的对称轴为 $x=\dfrac{1}{2a}$，而函数 $y=a^2x^3-2ax^2+x+a$ 的导函数为$$y'=3a^2x^2-4ax+1=(3ax-1)(ax-1),$$因此有极值点 $x=\dfrac 1{3a}$ 和 $x=\dfrac 1{a}$．无论 $a$ 取何值，$\dfrac {1}{2a}$ 必然在 $\dfrac{1}{3a}$ 和 $\dfrac 1{a}$ 之间，选项 B 不符合此规律．
当 $a\neq 0$ 时，函数 $y=ax^2-x+\dfrac a2$ 的对称轴为 $x=\dfrac{1}{2a}$，而函数 $y=a^2x^3-2ax^2+x+a$ 的导函数为$$y'=3a^2x^2-4ax+1=(3ax-1)(ax-1),$$因此有极值点 $x=\dfrac 1{3a}$ 和 $x=\dfrac 1{a}$．无论 $a$ 取何值，$\dfrac {1}{2a}$ 必然在 $\dfrac{1}{3a}$ 和 $\dfrac 1{a}$ 之间，选项 B 不符合此规律．
题目
答案
解析
备注
