题意即 $\forall x\in [-2,1],ax^3\geqslant x^2-4x-3$，令$$f(x)=\dfrac{x^2-4x-3}{x^3},$$则上述命题等价于$$\forall x\in [-2,0),a\leqslant f(x),$$且$$\forall x \in (0,1],a\geqslant f(x),$$换元 $t=\dfrac 1x$，且 $h(t)=3t^3+4t^2-t$，则命题可以得到进一步的简化：$$\forall t\leqslant -\dfrac 12,-a\geqslant h(t)$$且$$\forall t\geqslant 1,-a\leqslant h(t).$$函数 $h(t)$ 的导函数$$h'(t)=9t^2+8t-1=(t+1)(9t-1),$$因此函数 $h(t)$ 在 $\left(-\infty ,-1\right)$ 上单调递增，在 $\left(-1,\dfrac 19\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac 19,+\infty \right)$ 上单调递增．因此 $h(t)$ 在 $\left(-\infty ,-\dfrac 12\right]$ 上的最大值为 $h(-1)=2$，在 $\left[1,+\infty \right)$ 上的最小值为 $h(1)=6$，从而 $-a\geqslant 2$ 且 $-a\leqslant 6$，进而可得 $a$ 的取值范围是 $[-6,-2]$．