过点 $M(1,0)$ 的直线交抛物线 $y^2=4x$ 于 $A,B$ 两点，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
$M(1,0)$ 为抛物线的焦点，设 $A\left(4a^2,4a\right)$，$B\left(4b^2,4b\right)$，则 $4ab=-1$．
对于选项A，圆的直径为 $|MA|+|MB|=4a^2+4b^2+2$，线段 $AB$ 的中点到 $x=-\dfrac 32$ 的距离为 $2a^2+2b^2+\dfrac 32$，因此圆与直线相离；
对于选项B，圆的直径为 $4b^2+1$，线段 $MB$ 的中点到 $y$ 轴的距离为 $2b^2+\dfrac 12$，因此圆与 $y$ 轴相切；
对于选项C，$|AB|=4a^2+4b^2+2\geqslant 8|ab|+2=4$，因此 $|AB|$ 的最小值为 $4$；
对于选项D，$|AM|=4a^2+1>1$，因此 $|AM|$ 没有最小值．
对于选项A，圆的直径为 $|MA|+|MB|=4a^2+4b^2+2$，线段 $AB$ 的中点到 $x=-\dfrac 32$ 的距离为 $2a^2+2b^2+\dfrac 32$，因此圆与直线相离；
对于选项B，圆的直径为 $4b^2+1$，线段 $MB$ 的中点到 $y$ 轴的距离为 $2b^2+\dfrac 12$，因此圆与 $y$ 轴相切；
对于选项C，$|AB|=4a^2+4b^2+2\geqslant 8|ab|+2=4$，因此 $|AB|$ 的最小值为 $4$；
对于选项D，$|AM|=4a^2+1>1$，因此 $|AM|$ 没有最小值．
题目
答案
解析
备注
