已知 $0<a<b$，在 $a$、$b$ 之间插入一个正数 $k$，使 $a$，$k$，$b$ 成等比数列；在 $a$，$b$ 之间插入两个正数 $m$，$n$，使 $a$，$m$，$n$，$b$ 成等差数列，则 $(k+1)^2$ 与 $(m+1)(n+1)$ 的大小关系为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
由 $a$，$k$，$b$ 成等比数列，知$$k^2=ab,$$所以\[\begin{split}(k+1)^2&=k^2+2k+1\\&=ab+2\sqrt {ab}+1 \\&<ab+a+b+1 \\&=(a+1)(b+1).\end{split}\]由 $a$，$m$，$n$，$b$ 成等差数列，知$$a+b=m+n, b-a>n-m,$$所以由$$(m+1)+(n+1)=(a+1)+(b+1),$$得$$(m+1)(n+1)>(a+1)(b+1),$$故$$(k+1)^2<(a+1)(b+1)<(m+1)(n+1).$$
题目
答案
解析
备注
