若复数 $z$ 满足 $\left|z^2+1\right|=|z|$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
AC
【解析】
因为\[
\left||z|-\dfrac{1}{|z|}\right|\leqslant\left|z+\dfrac{1}{z}\right|=1,
\]故 $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\leqslant |z|\leqslant\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$，等号分别当 $z=\dfrac{\sqrt 5+1}2{\rm i}$ 和 $z=\dfrac{\sqrt 5-1}2{\rm i}$ 时取得．
令 $z=r\left(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\right)$，其中 $r>0$，$0\leqslant \theta=\arg z<2\pi$，由\[
\left|z+\dfrac{1}{z}\right|=\left|\left(r+\dfrac{1}{r}\right)\cos\theta+\mathrm{i}\left(r-\dfrac{1}{r}\right)\sin\theta\right|=1,
\]可知 $\left(r+\dfrac{1}{r}\right)^2\cos^2\theta+\left(r-\dfrac{1}{r}\right)^2\sin^2\theta=1$，整理得\[
\left(r^2+\dfrac{1}{r^2}\right)+2\cos{2\theta}=1,
\]故 $\cos{2\theta}\leqslant -\dfrac{1}{2}$，解得 $\theta=\arg z\in\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{4\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right]$．
\left||z|-\dfrac{1}{|z|}\right|\leqslant\left|z+\dfrac{1}{z}\right|=1,
\]故 $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\leqslant |z|\leqslant\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$，等号分别当 $z=\dfrac{\sqrt 5+1}2{\rm i}$ 和 $z=\dfrac{\sqrt 5-1}2{\rm i}$ 时取得．
令 $z=r\left(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\right)$，其中 $r>0$，$0\leqslant \theta=\arg z<2\pi$，由\[
\left|z+\dfrac{1}{z}\right|=\left|\left(r+\dfrac{1}{r}\right)\cos\theta+\mathrm{i}\left(r-\dfrac{1}{r}\right)\sin\theta\right|=1,
\]可知 $\left(r+\dfrac{1}{r}\right)^2\cos^2\theta+\left(r-\dfrac{1}{r}\right)^2\sin^2\theta=1$，整理得\[
\left(r^2+\dfrac{1}{r^2}\right)+2\cos{2\theta}=1,
\]故 $\cos{2\theta}\leqslant -\dfrac{1}{2}$，解得 $\theta=\arg z\in\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{4\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right]$．
题目
答案
解析
备注
