设 $A_1A_2\cdots A_{2016}$ 是正 $2016$ 边形，从这 $2016$ 个顶点中选出若干个使之能作为正多边形的顶点，则不同的选法共有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
从 $2016$ 的约数中去掉 $1,2$，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从 $2016$ 个顶点中选出 $k$ 个构成正多边形，这样的正多边形有 $\dfrac{2016}k$ 个，因此所求的正多边形的个数就是 $2016$ 的所有约数之和减去 $2016$ 和 $1008$．考虑到 $2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$，因此所求正多边形的个数为\[
(1+2+4+8+16+32)\cdot (1+3+9)\cdot (1+7)-2016-1008=3528.
\]
(1+2+4+8+16+32)\cdot (1+3+9)\cdot (1+7)-2016-1008=3528.
\]
题目
答案
解析
备注
