关于 $x,y$ 的不定方程 $x^2+615=2^y$ 的正整数解有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
方程两边同时模 $3$，可得 $x^2\equiv 2^y \pmod 3$．因为 $3 \nmid 2^y$，故 $3 \nmid x^2$，所以\[
x^2\equiv 1\pmod 3,
\]故\[
2^y\equiv 1\pmod 3,
\]所以 $y$ 是偶数．设 $y=2m \left(m\in \mathbb{N}^{*}\right)$，则\[
\left(2^m-x\right)\left(2^m+x\right)=615=3\cdot 5\cdot 41,
\]解得$$\begin{cases}2^m-x=5,\\2^m+x=123,\end{cases}$$即 $(x,y)=(59,12)$．
x^2\equiv 1\pmod 3,
\]故\[
2^y\equiv 1\pmod 3,
\]所以 $y$ 是偶数．设 $y=2m \left(m\in \mathbb{N}^{*}\right)$，则\[
\left(2^m-x\right)\left(2^m+x\right)=615=3\cdot 5\cdot 41,
\]解得$$\begin{cases}2^m-x=5,\\2^m+x=123,\end{cases}$$即 $(x,y)=(59,12)$．
题目
答案
解析
备注
