设 $z=x+y\mathrm i$（$x,y \in \mathbb R$）．
由 $|z|=1$，$|\bar z+\mathrm i|=1$，得$$\begin{cases}x^2+y^2=1,\\ x^2+(1-y)^2=1,\end{cases}$$解得 $x=\pm \dfrac {\sqrt 3}{2}$，$y=\dfrac 12$，所以$$\begin{split}&z=\pm \dfrac {\sqrt 3}{2}+\dfrac 12 \mathrm i,\\&z+\mathrm i=\pm \dfrac {\sqrt 3}{2}+\dfrac 32\mathrm i =\sqrt 3\left(\pm \dfrac {1}{2}+\dfrac {\sqrt 3}{2} \mathrm i\right),\end{split}$$故$$|z+\mathrm i|^n =(\sqrt 3)^n\left|\pm \dfrac {1}{2}+\dfrac {\sqrt 3}{2} \mathrm i\right|^n=(\sqrt 3)^n.$$由此可见，当 $n$ 取最小值 $n_0$ 时，$|z+\mathrm i|^n$ 取最小值 $(\sqrt 3)^{n_{0}}$．
当 $z=\dfrac {\sqrt 3}{2}+\dfrac 12 \mathrm i$ 时，$$z+\mathrm i=\sqrt 3\left(\dfrac 12+\dfrac {\sqrt 3}{2}\mathrm i\right)=\sqrt 3 \left(\cos \dfrac {\pi}{3}+\mathrm i\sin \dfrac {\pi}{3}\right).$$当 $z=-\dfrac {\sqrt 3}{2}+\dfrac 12 \mathrm i$ 时，$$z+\mathrm i=\sqrt 3\left(-\dfrac 12+\dfrac {\sqrt 3}{2}\mathrm i\right)=\sqrt 3 \left(\cos \dfrac {2\pi}{3}+\mathrm i\sin \dfrac {2\pi}{3}\right).$$因此使 $(z+\mathrm i)^n$ 为实数时 $n$ 的最小值为 $3$，此时 $|z+\mathrm i|^n$ 的最小值为 $(\sqrt 3)^{3}=3\sqrt 3$．