已知对任意 $x_1,x_2,\cdots,x_{2016}\in [0,4]$，方程 $\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|x-x_i\right|=2016a$ 在 $[0,4]$ 上至少有一个根，则 $a$ 等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学自主招生数学试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
取 $x_1=x_2=\cdots=x_{1008}=0$，$x_{1009}=x_{1010}=\cdots=x_{2016}=4$，则\[
\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|x-x_i\right|=\displaystyle\sum_{i=1}^{1008}\left(x-0\right)+
\displaystyle\sum_{i=1009}^{2016}\left(4-x\right)=2016\times 2,
\]所以" $a=2$ "是"方程 $\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|x-x_i\right|=2016a$ 在 $[0,4]$ 上至少有一个根"的必要条件．
下面证明" $a=2$ "是"方程 $\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|x-x_i\right|=2016a$ 在 $[0,4]$ 上至少有一个根"的充分条件．
事实上，令 $f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|x-x_i\right|-4032$，由于\begin{align*}
f(0)\cdot f(4)
&=\left(-4032+\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}x_i\right)\cdot\left(-4032+\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left(4-x_i\right)\right)\\
&=\left(-4032+\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}x_i\right)\cdot\left(4032-\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}x_i\right)\\
&=-\left(4032-\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}x_i\right)^2\\
&\leqslant 0,
\end{align*}所以当 $a=2$ 时，方程 $\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|x-x_i\right|=2016a$ 在 $[0,4]$ 上至少有一个根．
\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|x-x_i\right|=\displaystyle\sum_{i=1}^{1008}\left(x-0\right)+
\displaystyle\sum_{i=1009}^{2016}\left(4-x\right)=2016\times 2,
\]所以" $a=2$ "是"方程 $\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|x-x_i\right|=2016a$ 在 $[0,4]$ 上至少有一个根"的必要条件．
下面证明" $a=2$ "是"方程 $\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|x-x_i\right|=2016a$ 在 $[0,4]$ 上至少有一个根"的充分条件．
事实上，令 $f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|x-x_i\right|-4032$，由于\begin{align*}
f(0)\cdot f(4)
&=\left(-4032+\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}x_i\right)\cdot\left(-4032+\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left(4-x_i\right)\right)\\
&=\left(-4032+\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}x_i\right)\cdot\left(4032-\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}x_i\right)\\
&=-\left(4032-\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}x_i\right)^2\\
&\leqslant 0,
\end{align*}所以当 $a=2$ 时，方程 $\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|x-x_i\right|=2016a$ 在 $[0,4]$ 上至少有一个根．
题目
答案
解析
备注
