记 $f(n)$ 为最接近 $\sqrt{n}$ 的正整数，其中 $n\in \mathbb{N}^{*}$．若\[
\dfrac{1}{f(1)}+\dfrac{1}{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}=2016,
\]则正整数 $m$ 的值为 \((\qquad)\)
\dfrac{1}{f(1)}+\dfrac{1}{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}=2016,
\]则正整数 $m$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学自主招生数学试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
若 $f(n)=k$，则$$k^2-k+1 \leqslant n \leqslant k^2+k,$$所以\[\begin{split} &f(1)=f(2)=1,\\ &f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=2,\\ &\cdots ,\end{split}\]进而有$$\begin{split} 2016=&\dfrac{1}{f(1)}+\dfrac{1}{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}\\=&2\cdot 1+4\cdot \dfrac{1}{2}+6\cdot\dfrac{1}{3}+\cdots+2016\cdot\dfrac{1}{1008},\end{split} $$故 $m=2+4+6+\cdots+2016=1017072$．
题目
答案
解析
备注
