已知 $F_1,F_2$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两焦点，以线段 $F_1F_2$ 为边作正三角形 $MF_1F_2$，若边 $MF_1$ 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
设 $MF_1$ 与双曲线的交点为 $P$，焦点 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$．
由平面几何知识知 $F_2P\perp F_1M$，于是$$|PF_2|=2c\sin60^\circ=\sqrt3c , |PF_1|=c.$$结合双曲线定义，有$$2a=|PF_2|-|PF_1|=\sqrt3c-c=\left(\sqrt3-1\right)c,$$因此$$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt3+1.$$
由平面几何知识知 $F_2P\perp F_1M$，于是$$|PF_2|=2c\sin60^\circ=\sqrt3c , |PF_1|=c.$$结合双曲线定义，有$$2a=|PF_2|-|PF_1|=\sqrt3c-c=\left(\sqrt3-1\right)c,$$因此$$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt3+1.$$
题目
答案
解析
备注
