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过 $\triangle ABC$ 的重心作直线将 $\triangle ABC$ 分成两部分，则这两部分的面积之比的  \((\qquad)\)
A: 最小值为 $\dfrac 34$
B: 最小值为 $\dfrac 45$
C: 最大值为 $\dfrac 43$
D: 最大值为 $\dfrac 54$
【难度】
【出处】
2015年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 题型
    >
    三角
    >
    解三角形
  • 知识点
    >
    向量
    >
    利用向量解决几何问题
【答案】
BD
【解析】
如图，不妨设直线与边 $AB$ 以及 $AC$ 相交，交点分别为 $P,Q$，$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=\mu \overrightarrow{AC}$，则 $\triangle APQ$ 的面积与 $\triangle ABC$ 的面积比为 $\lambda\mu$．由于 $\dfrac 32\overrightarrow{AG}=\dfrac 12 \overrightarrow{AB}+\dfrac 12\overrightarrow{AC}$，因此 $\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3\lambda}\overrightarrow{AP}+\dfrac{1}{3\mu}\overrightarrow{AQ}$，从而$$\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}=3,\lambda,\mu\in (0,1].$$不难求得 $\lambda\mu$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 49,\dfrac 12\right]$，因此 $\triangle ABC$ 被直线 $PQ$ 分成的两部分的面积之比的取值范围是 $\left[\dfrac 45,\dfrac 54\right]$．
题目 答案 解析 备注
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