设函数 $f(x)$ 的定义域是 $(-1,1)$，若 $f(0)=f'(0)=1$，则存在实数 $\delta\in (0,1)$，使得 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
对于选项A，由 $f'(0)=1$ 可知，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续．又因为 $f(0)=1>0$，故由极限的保号性可知，A正确．
对于选项B，取$$f(x)=\begin{cases}x^2+x+1,&x\in \mathbb {Q},\\ -x^2+x+1,&x\in \complement_{{\mathbb R}}{\mathbb Q}. \end{cases}$$即为反例，B错误．
对于选项C，由于$$f'(0)=\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=1>0 ,$$故由极限的保号性可知，存在实数 $\delta \in (0,1)$，当 $x \in (0,\delta)$ 时，$$\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{f(x)-1}{x}>0 ,$$即 $f(x)>1$，C正确．
对于选项D，若存在实数 $\delta \in (0,1)$，当 $x \in (-\delta,0)$ 时，$f(x)>1$，则当 $x \in (-\delta,0)$ 时，$\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}<0 $，所以$$f'(0)=f'_{-}(0)=\lim \limits_{x \to 0^{-}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\leqslant 0,$$这与 $f'(0)=1>0$ 矛盾，D错误．
对于选项B，取$$f(x)=\begin{cases}x^2+x+1,&x\in \mathbb {Q},\\ -x^2+x+1,&x\in \complement_{{\mathbb R}}{\mathbb Q}. \end{cases}$$即为反例，B错误．
对于选项C，由于$$f'(0)=\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=1>0 ,$$故由极限的保号性可知，存在实数 $\delta \in (0,1)$，当 $x \in (0,\delta)$ 时，$$\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{f(x)-1}{x}>0 ,$$即 $f(x)>1$，C正确．
对于选项D，若存在实数 $\delta \in (0,1)$，当 $x \in (-\delta,0)$ 时，$f(x)>1$，则当 $x \in (-\delta,0)$ 时，$\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}<0 $，所以$$f'(0)=f'_{-}(0)=\lim \limits_{x \to 0^{-}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\leqslant 0,$$这与 $f'(0)=1>0$ 矛盾，D错误．
题目
答案
解析
备注
