在直角坐标系中，已知 $A(-1,0)$，$B(1,0)$．若对于 $y$ 轴上的任意 $n$ 个不同点 $P_1,P_2,\cdots ,P_n$，总存在两个不同点 $P_i,P_j$，使得 $\left|\sin\angle AP_iB-\sin \angle AP_jB\right|\leqslant \dfrac 13$，则 $n$ 的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
不影响问题的本质，将 $y$ 轴负半轴上的点对称到 $y$ 轴正半轴上，这样点 $P_i$ 与 $(0,{\pi}]$ 上的角一一对应．
如图，把函数 $y=\sin x$ 在 $(0,\pi]$ 上的图象所在的区域划分为三个条形区域．若 $n=4$，那么至少有两个点落在同一个条形区域，此时这两点即满足要求．若 $n=3$，那么可以取 $P_1$ 对应的角非常靠近 $0$，$P_2$ 对应的角为 $\dfrac{\pi}6$，$P_3$ 非常靠近 $\dfrac{\pi}2$，此时不符合题意．
综上所述，$n$ 的最小值为 $4$．
如图，把函数 $y=\sin x$ 在 $(0,\pi]$ 上的图象所在的区域划分为三个条形区域．若 $n=4$，那么至少有两个点落在同一个条形区域，此时这两点即满足要求．若 $n=3$，那么可以取 $P_1$ 对应的角非常靠近 $0$，$P_2$ 对应的角为 $\dfrac{\pi}6$，$P_3$ 非常靠近 $\dfrac{\pi}2$，此时不符合题意．综上所述，$n$ 的最小值为 $4$．
题目
答案
解析
备注
